יש לי משתנה קטגוריאלי אחד, לא טבלת הצלבה: מבחן חי-בריבוע להתאמה

יש לך שאלה בשאלון עם תשובה אחת קטגוריאלית. איזה סוג משוב על מטלות התלמידים מעדיפים: הערות בכתב, שיחה פנים אל פנים, דף מחוון, או הודעה קולית. כל תלמידה בחרה אחת מהארבע. עכשיו את רוצה לדעת אם יש כאן נטייה ברורה, או שהבחירות פשוט מתפזרות בערך שווה.

את זוכרת שיש מבחן שנקרא חי-בריבוע, פתחת ב-SPSS את Crosstabs, והוא ביקש שני משתנים: אחד לשורות ואחד לעמודות. אבל לך יש רק אחד. פה נעצרים.

אי-ההתאמה הזאת היא בדיוק העניין. מבחן חי-בריבוע לאי-תלות, זה שבטבלת ההצלבה, בודק קשר בין שני משתנים קטגוריאליים. מה שיש לך עכשיו הוא משתנה אחד, ושאלה על איך הוא מתחלק. למקרה הזה יש גרסה נפרדת של אותו רעיון: מבחן חי-בריבוע להתאמה (goodness of fit).

מה המבחן בעצם שואל

הרעיון זהה לכל מבחן חי-בריבוע: להשוות מה שראית בפועל למה שהיית מצפה לו תחת הנחה מסוימת. ההבדל היחיד הוא מאיפה מגיע ה"צפוי".

נניח 120 תלמידות, וזה מה שהן בחרו:

הערות בכתב	שיחה פנים אל פנים	דף מחוון	הודעה קולית	סה״כ
44	36	24	16	120

אלה ספירות, לא ממוצעים ולא אחוזים. המשתנה קטגוריאלי כי הערכים שלו הם קטגוריות, ולכן אי אפשר לחשב עליו ממוצע. כל תלמידה נספרת פעם אחת, בקטגוריה אחת, וזה מה שהופך את הטבלה לנתוני שכיחות תקינים למבחן.

השאלה של המבחן: אם לא הייתה שום העדפה, ו-120 התלמידות היו מתחלקות שווה בין ארבע האפשרויות, כמה היינו מצפים בכל תא? זאת השערת האפס, ובמספרים היא אומרת 25% בכל קטגוריה. מאה עשרים חלקי ארבע, כלומר 30 בכל אחת. זה ה"צפוי". הנתונים שלך הם ה"נצפה".

העיניים כבר רואות את הסיפור. הערות בכתב מעל הצפוי, הודעה קולית הרבה מתחת. המבחן רק נותן למרחק הזה מספר, ובודק אם הוא גדול מספיק כדי לא להיות רעש של מדגם.

מאיפה המספר מגיע

לכל קטגוריה לוקחים את הפער בין הנצפה לצפוי, מעלים בריבוע, ומחלקים בצפוי. ואז מחברים את הארבעה:

χ² = (44−30)²/30 + (36−30)²/30 + (24−30)²/30 + (16−30)²/30

זה יוצא 6.53 + 1.20 + 1.20 + 6.53 = 15.47. שני התאים הקיצוניים, בכתב ובקול, תורמים כמעט את כל הערך. התאים באמצע כמעט לא זזים.

דרגות החופש הן מספר הקטגוריות פחות אחת. ארבע קטגוריות, שלוש דרגות חופש. משווים את χ² = 15.47 להתפלגות חי-בריבוע עם df = 3, ומקבלים p = .001. קשה ליישב את הנתונים האלה עם הרעיון שאין שום העדפה.

איזו שורה קוראים בפלט

ב-SPSS המבחן הזה לא יושב תחת Crosstabs. הוא נמצא ב-Analyze > Nonparametric Tests > Legacy Dialogs > Chi-Square, זה שמקבל משתנה אחד. הפלט מגיע בשתי טבלאות. הראשונה מראה לך את הספירות, השנייה נותנת את ההכרעה.

	Observed N	Expected N	Residual
הערות בכתב	44	30.0	14.0
שיחה פנים אל פנים	36	30.0	6.0
דף מחוון	24	30.0	−6.0
הודעה קולית	16	30.0	−14.0

העמודה Expected N היא ה-30 שחישבנו. Residual הוא פשוט נצפה פחות צפוי, אותם 14 ו-6 מהחישוב. הטבלה הזאת היא לא ההכרעה, היא הפירוק. ההכרעה יושבת בטבלה השנייה, Test Statistics:

	סוג המשוב
Chi-Square	15.467
df	3
Asymp. Sig.	.001

השורה שאת קוראת להכרעה היא Asymp. Sig.. זה ה-p-value. כל השאר בטבלה הזאת הוא הדרך אליו.

מובהק אומר "יש הבדל", לא "כמה גדול"

ה-p הנמוך אומר שקשה להחזיק את מודל החלוקה השווה מול הנתונים. הוא לא אומר כמה ההעדפות רחוקות משוויון. לזה יש מדד נפרד, בדיוק כמו שראית שגודל אפקט משלים את ה-p בכל מבחן אחר.

למבחן ההתאמה גודל האפקט הוא Cohen's w, והוא שורש של חי-בריבוע חלקי N:

w = √(15.47 / 120) = 0.36

לפי הסולם המקובל, 0.1 קטן, 0.3 בינוני, 0.5 גדול. כלומר סטייה בינונית מחלוקה שווה. הפער מהמודל השווה הוא לא רק מובהק, הוא גם לא זניח בגודלו.

"הצפוי" הוא החלטה שלך, לא ברירת מחדל טכנית

עד כאן ההנחה הייתה חלוקה שווה. אבל הצפוי לא חייב להיות שווה. הוא יכול לבוא מתיאוריה, ממחקר קודם, או מהתפלגות ידועה באוכלוסייה. את פשוט מזינה את הפרופורציות שאת רוצה לבדוק מולן.

נניח שמחקר קודם דיווח שהעדפות המשוב מתחלקות בערך 40, 30, 20, 10 אחוז. על 120 תלמידות זה צפוי של 48, 36, 24, 12. אותם נתונים בדיוק, אותן 44, 36, 24, 16, אבל עכשיו הם נבדקים מול מודל אחר. וזה מה שיוצא: χ²(3) = 1.67, p = .64. לא מובהק.

אותם נתונים, שתי מסקנות הפוכות. מול חלוקה שווה הם חורגים בבירור. מול מודל 40-30-20-10 הם יושבים כמעט בול. המבחן אף פעם לא בודק "אם הנתונים מיוחדים" באוויר. הוא בודק אותם מול מודל מסוים שאת בחרת, וה-p תמיד מותנה במודל הזה.

ומכאן כלל חשוב: את קובעת את המודל הצפוי לפני שאת מסתכלת על התוצאה, מתוך תיאוריה או מחקר קודם. לא בוחרת בדיעבד את המודל שנותן את ה-p הנוח. הבחירה הזאת היא חלק מהטענה המחקרית, ובדוח כדאי לכתוב במפורש מאיפה הצפוי הגיע.

מתי להיזהר

המבחן סופר תצפיות בלתי-תלויות: כל תלמידה נכנסת פעם אחת, לקטגוריה אחת. אם אותה תלמידה בחרה שתי אפשרויות, או אם הזנת אחוזים במקום ספירות, החישוב כבר לא תקף.

יש גם עניין של גודל התאים. בקירוב הרגיל, כלל האצבע המקובל הוא צפוי של לפחות 5 בכל קטגוריה. כשהצפוי בתא מסוים קטן מזה, הקירוב של χ² להתפלגות נעשה פחות מדויק, וכדאי לשקול איחוד קטגוריות או מבחן מדויק. זאת אותה דאגה של תאים דלילים שפגשת אצל מבחן Fisher's exact, רק בגרסת המשתנה היחיד. בדוגמה כאן הצפוי הנמוך ביותר הוא 12, כך שכלל האצבע של הצפוי המינימלי מתקיים.

המספרים בדוגמה נקיים בכוונה, כדי שהחשבון יהיה קריא. נתונים אמיתיים יהיו מבולגנים יותר, וזה בסדר.

איך זה נכנס לדוח

שורת הדיווח כוללת את χ², דרגות החופש, N, ה-p, וגודל האפקט. ולצדם משפט קצר שאומר מה נמצא בעברית, כי המנחה קורא את המשפט לפני שהוא מסתכל על הסוגריים:

מבחן חי-בריבוע להתאמה העלה שהעדפות המשוב אינן מתחלקות באופן שווה בין ארבע האפשרויות, χ²(3, N = 120) = 15.47, p = .001, w = .36. הקטגוריה השכיחה ביותר היא הערות בכתב, 44 מתוך 120 תלמידות (36.7%, רווח סמך 95%: 28.6% עד 45.6%), מול הודעה קולית שבחרו בה הכי מעט (16 תלמידות).

וזה כל ההבדל בין שני מבחני חי-בריבוע. שני משתנים ושאלה על קשר, זה מבחן אי-התלות וטבלת ההצלבה. משתנה אחד ושאלה על איך הוא מתחלק, זה מבחן ההתאמה. אם את לא בטוחה מאיזה סוג השאלה שלך, זה בדיוק מה שבחירת המבחן הנכון עוזרת למפות.